题目内容
【题目】某农场预算用5600元购买单价为50元(每吨)的钾肥和20元(每吨)的氮肥,希望使两种肥料的总数量(吨)尽可能的多,但氮肥数不少于钾肥数,且不多于钾肥数的1.5倍
(Ⅰ)设买钾肥吨,买氮肥吨,按题意列出约束条件、画出可行域,并求钾肥、氮肥各买多少才行?
(Ⅱ)已知,是坐标原点, 在(Ⅰ)中的可行域内,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 购买钾肥70吨,氮肥105吨时,两种肥料的总数量最大为175吨(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)首先由已知条件中的限定条件可得到关于x,y的不等式,从而确定线性约束条件,进而由不等式得到可行域,通过对目标函数的变形,将z赋予特定的几何含义:直线的截距,从而求得z取最值时x,y的取值;(Ⅱ) 将代入点的坐标转化为,借助于斜率求解s的取值范围
试题解析:(Ⅰ)设肥料总数为,
由题意得约束条件
,即
画出可行域(如图)
目标函数:,即,
表示斜率为,轴上截距为的平行直线系.
当直线过点N时,最大.
联立方程,解得
此时.
购买钾肥70吨,氮肥105吨时,两种肥料的总数量最大为175吨
(Ⅱ),,为的夹角
.有图可知:
当点在线段时,最大为,此时s最大值为;
当点在线段时,最小为,此时s最小值为.
另解:,,代入可得
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