题目内容
20．已知变量x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$，且z=x+ay的最大值为16，则实数a=（ ）| A． | -5或6 | B． | 5或-6 | C． | -6 | D． | 6 |
分析 分a＞0和a＜0作出可行域，然后化目标函数为直线方程的斜截式，可知a＜0时可行域中不存在使目标函数取得最大值的最优解，当a＞0时，数形结合求出最优解的坐标，代入目标函数求得a值．
解答 解：由题意可知，a≠0，
若a＞0，由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=2}\\{x+y=a}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{a+2}{2}，\frac{a-2}{2}$），
化目标函数z=x+ay为$y=-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$，由图可知，当直线过A时z有最大值等于$\frac{a+2}{2}+\frac{{a}^{2}-2a}{2}=\frac{{a}^{2}-a=2}{2}=16$，解得a=6；
若a＜0，由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥2}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$作出可行域如图，
化目标函数z=x+ay为$y=-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$，由图可知，使目标函数取得最大值的最优解不存在．
综上，a=6．
故选：D．
点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
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