Question

8．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是垂直单位向量，|$\overrightarrow c|$=13，$\overrightarrow c•\overrightarrow a$=3，$\overrightarrow c•\overrightarrow b=4$，对任意实数t₁，t₂，求|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|的最小值．（　　）

• A． 12
• B． 13
• C． 14
• D． 144

Answer 1

分析 利用向量运算得出|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|的²=（$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$）²展开，代入已知的条件，再运用配方后求最小值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是垂直单位向量，|$\overrightarrow c|$=13，$\overrightarrow c•\overrightarrow a$=3，$\overrightarrow c•\overrightarrow b=4$，
∴|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|²=（$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$）²=$\overrightarrow{c}$²-2t₁$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-2t₂$\overrightarrow{b}$$•\overrightarrow{c}$+2t₁t₂$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$
=169+t₁²+t₂²-6t₁-8t₂
=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144，
由此可得，当且仅当t₁=3，t₂=4时，|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|的最小值为144．
∴$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|的最小值为12，
故选：A

点评 本题综合考查了平面向量的运算，运用配方法求解双变量的最小值问题，计算较麻烦，仔细计算，认真些．