Question

15．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=4ⁿ•a_n，求该数列的通项公式．

Answer 1

分析 由数列递推式得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={4}^{n}$，然后利用累积法结合等差数列的前n项和得答案．

解答 解：由a_n+1=4ⁿ•a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}={4}^{n}$，
又a₁=1，
∴当n≥2时，
${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$
=4^n-1•4^n-2…4¹•1=4^{[1+2+3+…+（n-1）]}=${4}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{{n}^{2}-n}$．
当n=1时上式成立，
∴${a}_{n}={2}^{{n}^{2}-n}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．