题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱
底面
,过
作
垂直
交
于
点,作
垂直
交
于
点,平面
交
于
点,点
为
上一动点,且
,
.
(1)试证明不论点在何位置,都有
;
(2)求的最小值;
(3)设平面与平面
的交线为
,求证:
.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
【解析】
试题(1)先证明平面
,再由
平面
得到
;(2)将侧面
和侧面
沿着
展开至同一平面上,利用
、
、
三点共线结合余弦定理求出
的最小值,即线段
的长度;(3)先证
平面
,然后利用直线与平面平行的性质定理证明
.
试题解析:(1)底面
是正方形,
,
底面
,
面
,
,
又,
平面
,
不论点
在何位置都有
平面
,
;
(2)将侧面绕侧棱
旋转到与侧面
在同一平面内,如下图示,
则当、
、
三点共线时,
取最小值,这时,
的最小值即线段
的长,
设,则
,
在中,
,
,
在三角形中,有余弦定理得:
,
;
(3)连结,
,
,
,
,
又,
,
,
,
,
,
,
又面
,
平面
,
平面
平面
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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