Question

【题目】如图，过椭圆E：（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆E于P，Q两点，点A，B是椭圆E的顶点，且AB∥OP，F2为右焦点，△PF2Q的周长为8．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点F1作直线l与椭圆E交于C，D两点，若△OCD的面积为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由题意，三角形的周长求出的值，再由AB∥OP，直线的斜率相等及a，c，b之间的关系求出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，进而求出两根之差的绝对值，求出面积，再由椭圆求出直线方程．

（1）由题意得：4a＝8，a＝2，且，a2＝b2+c2，b2＝2，

所以椭圆的方程：；

（2）显然直线l的斜率不为零，

设l的方程为：x＝my，C（x，y），D（x'，y'），

联立与椭圆的方程得：（2+m2）y2﹣2my﹣1＝0，y+y'，yy'，

S△OCD|OF1||yC﹣yD|2，

∴由题意得：，整理得：5m4﹣34m2﹣7＝0，

解得m2＝7，所以m，

所以直线l的方程为：xy．