题目内容

对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”.给出下列4个函数:
;②; ③; ④
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为(     )

A.①②③ B.②③ C.①③ D.②③④

B

解析试题分析:根据题意,①中都是的可等域区间,②中,,且时递减,在时递增,若,则,于是,又,而,故是一个可等域区间,有没有可等域区间,且呢?若,则,解得,不合题意,若,则有两个非负解,但此方程的两解为1和,也不合题意,故函数只有一个等可域区间,③中函数的值域是,所以,函数上是增函数,考察方程,由于函数只有两个交点,即方程只有两个解0和1,因此此函数只有一个等可域区间,对于④,函数在定义域上是增函数,若上函数有等可域区间,则,但方程无解(方程无解),故此函数无可等域区间.综上只有②③正确,选B.
考点:函数的定义域与值域,单调性,方程的解等综合问题.

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