题目内容
【题目】已知函数.
讨论函数
的极值点的个数;
若函数
有两个极值点
,
,证明:
.
【答案】(1)见解析 (2)见解析
【解析】
先求出函数的导函数,通过讨论a的范围确定导函数的符号,从而得出函数的单调区间,进而判断函数极值点个数;
由
可知当且仅当
时
有极小值
和极大值
,且
,
是方程的两个正根,则
,
根据函数
表示出
,令
,通过对
求导即可证明结论.
解:函数
,
,
,
当
时,
,
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增;
当
时,
有极小值;
当时,
,故
,
在
上单调递减,故此时
无极值;
当时,
,方程
有两个不等的正根
,
.
可得,
.
则当及
时,
,
单调递减;
当时,
;
单调递增;
在
处有极小值,在
处有极大值.
综上所述:当时,
有1个极值点;
当时,
没有极值点;
当时,
有2个极值点.
由
可知当且仅当
时
有极小值点
和极大值点,且
,
是方程的两个正根,
则,
.
;
令,
;
,
在
上单调递减,故
,
.
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