题目内容
【题目】设有二元关系,已知曲线
.
(1)若时,正方形
的四个顶点均在曲线
上,求正方形
的面积;
(2)设曲线与
轴的交点是
,抛物线
与
轴的交点是
,直线
与曲线
交于
,直线
与曲线
交于
,求证直线
过定点,并求该定点的坐标;
(3)设曲线与
轴的交点是
,
,可知动点
在某确定的曲线
上运动,曲线
上与上述曲线
在
时共有4个交点,其坐标分别是
、
、
、
,集合
的所有非空子集设为
,将
中的所有元素相加(若
只有一个元素,则和是其自身)得到255个数
,求所有正整数
的值,使得
是一个与变数
及变数
均无关的常数.
【答案】(1)4;(2)直线过定点
;(3)
是奇数时,
是一个与变数
及变数
均无关的常数.
【解析】
(1)令,解得
,即
表示两条平行直线,这两条平行线间的距离2为正方形的边长,由此可得正方形面积;
(2)曲线中,令
,则
,设
,由韦达定理得
,写出
的方程求得
的坐标,从而得直线
的方程(只含有参数
),观察方程可得直线
所过定点;
(3)令,则
,则
,即点
在曲线
上,而曲线
表示两条平行线且斜率为1,因此可知点
关于直线
对称,从而可得
,同理
.于是有
,有
,则
时,
,对其他244个子集配对:
,满足
,
,这样的集合“对”共有127对。
以下证明:对的元素和
和
的元素和
,当
为奇数时,恒有
,为此可用数学归纳法证明
能够整除
,从而得结论.
(1)令,得
,即
表示两条平行直线,这两条平行线间的距离为
,此为正方形的边长,正方形的面积为4。
(2)在曲线中,令
,则
,设
,由韦达定理得
,由题意知
,直线
方程为
,
方程为
,
由,解得
,同理可得
,∵
,∴
,∴直线
方程为
,化简为:
,
时,
,故直线
过定点
;
(3)令,则
,则
,即点
在曲线
上,又曲线
:
恒表示两条平行直线
,如图,
关于直线
对称,则
,即
,同理
,则
,集合
的所有非空子集设为
,取
,显然
,则
时,
,对
的其他子集,我们把它们配成集合“对”
,使得
,
,这样的集合“对”共有127对。
以下证明:对的元素和
和
的元素和
,当
为奇数时,恒有
,为此先证明:
是奇数时,则
能够整除
,
用数学归纳法证之:
(i)当时显然成立,
(ii)假设(
是奇数)成立,即
能够整除
,则当
时,
,
由归纳假设知此式能被整除,
由(i)(ii)可知当为奇数时,
能够整除
.
∴为奇数时,
(其中
是关于
的整式),
∵,
,∴对每一个集合“对”
,
,
则一定有=0,
,于是
是常数.
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