Question

【题目】已知数列中，，对任意的，，有．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足（，），

①求数列的前项和；

②设是正整数，若存在正数，对任意的正整数，当时，都有，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）的最大值为5

【解析】

（1）先证明是首项，公差都为1的等差数列，再写出数列的通项；（2）①先求出，（），再分类讨论求出数列的前项和；②原题等价于存在正数，对任意的正整数（），当时，都有，再对分类讨论求出m的最大值．

（1）由，，令，

则，所以是首项，公差都为1的等差数列，

所以的通项公式为．

（2）由题意，

（），

两式相减得（），，（），

当时，满足上式，所以，（）．

所以①时，，；

②时，，

③且时，，．

（3）等价于，，

原题等价于存在正数，对任意的正整数（），当时，都有，

①当时，，与题目要求不符；

②当时，，与题目要求不符；

③当时，当时，上式取对数得，

等价于，

设，，则，

，，单调递增；

，，单调递减；

所以在取最大值，

又因为，所以；

设，，则，

设，，，时，所以在递减，

又，所以在恒成立，即在递减．

时，，存在；

时，，递减，

，，

所以的最大值为5．