题目内容
【题目】已知函数(
,
是自然对数的底数).
(1)若函数在点
处的切线方程为
,试确定函数
的单调区间;
(2)①当,
时,若对于任意
,都有
恒成立,求实数
的最小值;②当
时,设函数
,是否存在实数
,使得
?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)在
上单调递减,在
上单调递增;(2)①
;②存在
,使得命题成立
【解析】
(1)利用切线方程可知,
,从而构造出方程组求得
,得到
解析式,根据导函数的符号确定
的单调区间;(2)①将问题转化为
对任意
恒成立;设
,利用导数求解
,可得
;②设存在
,使得
,将问题转化为
,利用导数分别在
,
和
研究
的最大值和最小值,从而根据最值的关系可求得
的取值范围.
(1)由题意
在点
处的切线方程为:
,
,即:
解得:
,
,
当时,
,当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增
(2)①由,
,
,即:
对任意,都有
恒成立等价于
对任意
恒成立
记,
设
对
恒成立
在
单调递增
而,
在
上有唯一零点
当时,
,当
时,
在
单调递减,在
上单调递增
的最大值是
和
中的较大的一个
,即
,
的最小值为
②假设存在,使得
,则问题等价于
⑴当时,
,则
在
上单调递减
,即
,得:
(2)当时,
,则
在
上单调递增
,即
,得:
(3)当时,当
时,
;当
时,
,
在
上单调递减,在
上单调递增
,即
……(*)
由(1)知上单调递减,故
,而
不等式(*)无解
综上所述,存在,使得命题成立
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了调查煤矿公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系,随机抽取了30名员工,并制作了这30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).其中月收入4000元以上员工中有11人饮食指数高于70.
20 | 21 | 21 | 25 | 32 | 33 |
36 | 37 | 42 | 43 | 44 | 45 |
45 | 58 | 58 | 59 | 61 | 66 |
74 | 75 | 76 | 77 | 77 | 78 |
78 | 82 | 83 | 85 | 86 | 90 |
(Ⅰ)是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系?若有请说明理由,若没有,说明理由并分析原因;
(Ⅱ)以样本中的频率作为概率,从该公司所有主食蔬菜的员工中随机抽取3人,这3人中月收入4000元以上的人数为,求
的分布列与期望;
(Ⅲ)经调查该煤矿公司若干户家庭的年收入(万元)和年饮食支出
(万元)具有线性相关关系,并得到
关于
的回归直线方程:
.若该公司一个员工与其妻子的月收入恰好都为这30人的月平均收入(该家庭只有两人收入),估计该家庭的年饮食支出费用.
附:
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |