Question

11．已知数列{a_n}满足a_na_n+1=2ⁿ，a₁=1，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{1}{3}$S_2n，求所有的正整数m，使$\frac{{b}_{n+1}{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$为整数．

Answer 1

分析 （1）通过a_na_n+1=2ⁿ与a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹作商可知数列{a_n}的奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，进而可得结论；
（2）通过（1）可知S_2n=3（2ⁿ-1），进而可知$\frac{{b}_{n+1}{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+2}-1）}{{2}^{n}-1}$，利用换元法令2ⁿ-1=t可知$\frac{{b}_{m+1}{b}_{m+2}}{{b}_{m}}$=8•2^m+2+$\frac{3}{{2}^{m}-1}$为整数，进而可得结论．

解答 解：（1）∵a_na_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{a_n}的奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列，
又∵a₁=1，∴${a}_{2}=\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n为奇数}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知S_2n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=3（2ⁿ-1），
∴b_n=$\frac{1}{3}$S_2n=2ⁿ-1，
∴$\frac{{b}_{n+1}{b}_{n+2}}{{b}_{n}}$=$\frac{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+2}-1）}{{2}^{n}-1}$，
记2ⁿ-1=t，则2ⁿ=t+1，
则$\frac{{b}_{m+1}{b}_{m+2}}{{b}_{m}}$=$\frac{（2t+1）（4t+3）}{t}$
=8t+10+$\frac{3}{t}$
=8•2^m+2+$\frac{3}{{2}^{m}-1}$为整数，
故只有2^m-1=1或3，即m=1或2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．