Question

13．设函数f（x）=x²-mx+2（m∈R），若当x＞1时，f（x）≥0恒成立，则m的取值范围为（-∞，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 依题意得：m≤x+$\frac{2}{x}$，构造函数g（x）=x+$\frac{2}{x}$（x＞1），利用导数法可求得g（x）_min=g（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，从而可求得m的取值范围．

解答 解：∵x＞1，∴m≤x+$\frac{2}{x}$，
令g（x）=x+$\frac{2}{x}$（x＞1），
则m≤g（x）_min．
g′（x）=$\frac{（x-\sqrt{2}）（x+\sqrt{2}）}{{x}^{2}}$，
∵x＞1，
当x∈（1，$\sqrt{2}$）时，g′（x）＜0，y=g（x）在区间（1，$\sqrt{2}$）上单调递减，
当x∈（$\sqrt{2}$，2）时，g′（x）＞0，y=g（x）在区间（$\sqrt{2}$，2）上单调递增，
∴当x=$\sqrt{2}$时，g（x）=x+$\frac{2}{x}$取得极小值，也是区间（1，2）上的最小值，
即g（x）_min=g（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
∴m≤2$\sqrt{2}$．
故答案为：（-∞，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查利用导数法求极值，考查构造函数思想与运算求解能力，属于中档题．