题目内容
【题目】已知,函数
(
是自然对数的底数)
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在区间
内无零点,求
的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)求出,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(2)求出函数
求其导函数
,可知当
时函数
在区间
上单调递减,可得
,函数
在区间
上无零点;当
时,分
和
分类讨论,即可筛选出函数
在区间
内无零点的
的范围.
详解:(1)∵
∴
当时,在
上
恒成立,
增区间为
,无减区间;
当时,令
得
的增区间为
,减区间为.
(2)函数
,
∴
①当时,
在
上恒成立,函数
在区间
上单调递减,
则,
∴时,函数
在区间
上无零点;
②当时,令
得,
令,得
,令
,得
,
因此,函数的单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(i)当,即时
,
函数的单调递减区间是
,∴
要使函数在区间
内无零点,则
,得
;
(ii)当,即
时,
函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
∴
设
∴
∴在
上单调递减,
∴
,
而当时,
,
∴函数在区间
内有零点,不合题意.
综上,要使函数在区间
内无零点,则
的最大值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目