题目内容

16.如图为函数f(x)=Asin(ωx+φ)+c(A>0,ω>0,φ>0)图象的一部分.
(Ⅰ)求此函数的周期及最大值和最小值;
(Ⅱ)求此函数的单调递增区间.

分析 (Ⅰ)由函数的最值求出A和c的值,由周期求出ω,可得函数的解析式,进而求得此函数的周期及最大值和最小值.
(Ⅱ)把点(4,1)代入上式求得φ的值,再利用正弦函数的单调性求得f(x)的单调递增区间.

解答 解:(Ⅰ)结合图象及解析表达式可知,c=1,A=4-1=3.
再根据$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=12-4,求得ω=$\frac{3π}{16}$,故函数f(x)=3sin($\frac{3π}{16}$x+φ)+1.
故函数f(x)的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{3π}{16}}$=$\frac{32}{3}$,最大值为 3+1=4,最小值为-3+1=-2.
(Ⅱ)把点(4,1)代入上式,可得 sin($\frac{3π}{4}$+φ)=0,再根据φ>0,故可取φ=$\frac{π}{4}$,
故函数的解析式为:f(x)=3sin($\frac{3π}{16}$x+$\frac{π}{4}$)+1.
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3π}{16}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈z,求得-4+$\frac{32}{3}$k≤x≤$\frac{4}{3}$+$\frac{32}{3}$k,
即函数f(x)的单调递增区间为:[-4+$\frac{32}{3}$k,$\frac{4}{3}$+$\frac{32}{3}$k],k∈z.

点评 本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的周期性、最值、以及单调性,属于中档题.

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