题目内容

12.已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈($\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$).
(1)若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|,求角α的值;
(2)若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$,求tanα的值.

分析 (1)首先求出两个向量的坐标,然后利用α表示等式,得到α;
(2)利用向量的数量积公式得到α的三角函数等式,然后利用三角函数的基本关系式求α的正切.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{AC}$=(cosα-3,sinα),$\overrightarrow{BC}$=(cosα,sinα-3),
∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{(cosα-3)^{2}+si{n}^{2}α}=\sqrt{10-6cosα}$,
|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{co{s}^{2}α+(sinα-3)^{2}}=\sqrt{10-6sinα}$.
由|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|,得sinα=cosα.又∵α∈($\frac{π}{2}$,$\frac{3π}{2}$),∴α=$\frac{5π}{4}$.
(2)由$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}$,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=$\frac{2}{5}$.
∴sinα+cosα=$\frac{1}{5}$>0,故$α∈(\frac{π}{2},\frac{3π}{4})$,
∴(sinα+cosα)2=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+1+2tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{1}{25}$,解得tanα=$-\frac{3}{4}$(舍去)或$-\frac{4}{3}$.

点评 本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的数量积、向量模的计算;考查学生的计算能力.

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