Question

7．设S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{201{4}^{2}}+\frac{1}{201{5}^{2}}}$，则不大于S的最大整数等于（　　）

• A． 2016
• B． 2015
• C． 2014
• D． 2013

Answer 1

分析 由$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂项求和法求出S=2014+1-$\frac{1}{2015}$，由此能求出不大于S的最大整数为2014．

解答 解：$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{{n}^{2}（n+1）^{2}+{n}^{2}+（n+1）^{2}}}{n（n+1）}$=$\frac{\sqrt{（1+n+{n}^{2}）^{2}}}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1+n+{n}^{2}}{{n}^{2}+n}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{201{4}^{2}}+\frac{1}{201{5}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+1+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=2014+1-$\frac{1}{2015}$，
∴不大于S的最大整数为2014，
故选：C．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．