题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是圆内接四边形,
,
,
.
(1)求证:平面⊥平面
;
(2)若点在平面
内运动,且
平面
,求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)连接,交
于点
,连接
,先通过证明
,
得出
平面
,再根据面面垂直的判定定理由
平面
证明平面BED⊥平面
即可;(2)取
的中点
,
的中点
,先通过平面
//平面
得出点
在线段
上,然后建立空间直角坐标系并设
,从而求出平面
的法向量
及
的坐标,设直线
与平面
所成的角为
,则
,最后根据
即可求出
的最大值.
(1)证明:如图,连接,交
于点
,连接
,
因为,
,
,
所以,易得
,
所以,
所以.
又,
,所以
⊥平面
,
又平面
,所以
.
又底面是圆内接四边形,
因为,
在中,由
,
,可得
,
,
所以,
,
易得与
相似,所以
,
即.
又、
平面
,
,
所以平面
,
又平面
,所以平面BED⊥平面
.
(2)解:如图,取的中点
,
的中点
,连接
,
,
,
则,由(1)知,
,即
,
所以为正三角形,所以
,又
,
所以平面//平面
,
所以点在线段
上.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
所以,
,
,
,
设平面的法向量
,
则,即
,
令,则
,
设,可得
,
设直线与平面
所成的角为
,
则,
因为,所以当
时,
取得最大值
.
故直线与平面
所成角的正弦值的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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