题目内容

(请考生在题22,23,24中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。)
(本小题满分10分)如图5,⊙O1和⊙O2公切线AD和BC相交于点D,A、B、C为切点,直线DO1与⊙O1与E、G两点,直线DO2交⊙O2与F、H两点。

(1)求证:
(2)若⊙O1和⊙O2的半径之比为9:16,求的值。
(1)略(2)
(1)证明:∵AD是两圆的公切线,
∴AD2=DE×DG,AD2=DF×DH,
∴DE×DG= DF×DH, ∴
又∵∠EDF=∠HDG,∴△DEF∽△DHG。………………………4分
(2)连结O1 A,O2A,∵AD是两圆的公切线,
∴O1A⊥AD,O2A⊥AD,
∴O1O2共线,
∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切线,DG平分∠ADB, DH平分∠ADC,
∴DG⊥DH,∴AD2= O1A×O2A,………………………8分
设⊙O1和⊙O2的半径分别为9x和16x,则AD=12x,
∵AD2=DE×DG,AD2=DF×DH,
∴144x2=DE(DE+18x),144x2=DF(DF+32x)
∴DE=6x,DF=4x,。………………………10分
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