题目内容
【题目】已知函数(
且
).
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)若,是否存在
,使
在
的值域为
?若存在,求出此时
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)奇函数;证明见解析;(2)存在,.
【解析】
(1)求出函数的定义域,然后利用奇偶性的定义验证函数
的奇偶性;
(2)由,可得出
,利用复合函数可分析出函数
在区间
上为减函数,由题意得
,于是得出关于
的方程
在区间
上有两解,即关于
的方程
在
上有两个不等的实根,然后结合二次函数的图象列出关于
的不等式组,解出即可.
(1)函数是奇函数;证明如下:
由解得
或
,所以,函数
的定义域为
,关于原点对称.
,
因此,函数为奇函数;
(2)由题意知,,且
,
.
令在
上为增函数,
而函数为减函数,所以,函数
在
上为减函数,
假设存在,使得题意成立,则函数
在
上为减函数,
则有,即
,
.
所以、
是方程
的两正根,
整理得在
有
个不等根
和
,由韦达定理得
,则
.
令,则函数
在
有
个零点,
则,解得
.
因此,实数的取值范围是
.

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