题目内容
【题目】设是两个非零平面向量,则有:
①若,则
②若,则
③若,则存在实数
,使得
④若存在实数,使得
,则
或
四个命题中真命题的序号为 __________.(填写所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】逐一考查所给的结论:
①若,则
,据此有:
,说法①正确;
②若,取
,则
,
而,说法②错误;
③若,则
,据此有:
,
由平面向量数量积的定义有:,
则向量反向,故存在实数
,使得
,说法③正确;
④若存在实数,使得
,则向量
与向量
共线,
此时,
,
若题中所给的命题正确,则,
该结论明显成立.即说法④正确;
综上可得:真命题的序号为①③④.
点睛:处理两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
【题型】填空题
【结束】
17
【题目】已知在中,
,且
.
(1)求角的大小;
(2)设数列满足
,前
项和为
,若
,求
的值.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】试题分析:
(1)由题意结合三角形内角和为可得
.由余弦定理可得
,,结合勾股定理可知
为直角三角形,
,
.
(2)结合(1)中的结论可得
.则
,
据此可得关于实数k的方程
,解方程可得
,则
或
.
试题解析:
(1)由已知,又
,所以
.又由
,
所以,所以
,
所以为直角三角形,
,
.
(2)
.
所以
,
由
,得
,所以
,所以
,所以
或
.
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【题目】“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介,然后关注该公众号,就能看见自己与好友每日行走的步数,并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的50人,记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:
步数/步 | 10000以上 | ||||
男生人数/人 | 1 | 2 | 7 | 15 | 5 |
女性人数/人 | 0 | 3 | 7 | 9 | 1 |
规定:人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”,否则为“懈怠性”.
(1)以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率,记表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数,求
和
的数学期望.
(2)为调查评定系统的合理性,拟从这50人中先抽取10人(男性6人,女性4人).其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人,“懈怠性”的有2人,从中任意选取3人,记选到“积极性”的人数为;
其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人,从中任意选取2人,记选到“积极性”的人数为;求
的概率.