题目内容
【题目】如图，在四棱柱
中，
，
，
，且
.
（I）求证：
；
（II）求证：
；
（III）若
，判断直线
与平面
是否垂直？并说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面BCC1B1∥平面ADD1A1,据此结合面面平行的性质即可证得题中的结论；
(Ⅱ)由题意可证得AC⊥平面BB1D,据此证明题中的结论即可；
(Ⅲ)结论：直线B1D与平面ACD1不垂直,利用反证法，假设B1D⊥平面ACD1，结合题意得到矛盾的结论即可说明直线B1D与平面ACD1不垂直.
证明：(Ⅰ)∵AD∥BC,BC平面ADD1A1,AD平面ADD1A1，
∴BC∥平面ADD1A1,
∵CC1∥DD1,CC1平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,
∴CC1∥平面ADD1A1，
又∵BC∩CC1=C，
∴平面BCC1B1∥平面ADD1A1,
又∵B1C平面BCC1B1，
∴B1C∥平面ADD1A1.
(Ⅱ)∵BB1⊥平面ABCD，AC底面ABCD，∴BB1⊥AC,又∵AC⊥BD,BB1∩BD=B，
∴AC⊥平面BB1D,
又∵B1D底面BB1D，
∴AC⊥B1D;
(Ⅲ)结论：直线B1D与平面ACD1不垂直,
证明：假设B1D⊥平面ACD1，
由AD1平面ACD1,可得B1D⊥AD1,
由棱柱
中,BB1⊥底面ABCD,∠BAD=90°，
可得：A1B1⊥AA1,A1B1⊥A1D1，
又∵AA1∩A1D1=A1，
∴A1B1⊥平面AA1D1D，
∴A1B1⊥AD1,
又∵A1B1∩B1D=B1，
∴AD1⊥平面A1B1D，
∴AD1⊥A1D,
这与四边形AA1D1D为矩形,且AD=2AA1矛盾,故直线B1D与平面ACD1不垂直.
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