Question

14．设函数$f（x）=\vec m•\vec n$，其中向量$\vec m=（{1，2cosx}）$，$\vec n=（{\sqrt{3}sin2x，cosx}）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（ A）=2，b=1，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求△ABC外接圆半径R．

Answer 1

分析 （1）运用向量数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；
（2）运用余弦定理和面积公式，求得a，c，再由正弦定理可得外接圆的半径R．

解答 解：（1）由函数$f（x）=\vec m•\vec n$，向量$\vec m=（{1，2cosx}）$，$\vec n=（{\sqrt{3}sin2x，cosx}）$，
即有$f（x）=2{cos^2}x+\sqrt{3}sin2x=cos2x+\sqrt{3}sin2x+1=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．  
所以，函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
即有函数f（x）的单调递增区间是$[{-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}]k∈Z$；
（2）f（ A）=2，b=1，即2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2，
即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，即为2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
又△ABC的面积为$\sqrt{3}$，b=1，得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，解得c=4，
再由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，即a²=1+16-2×1×4×$\frac{1}{2}$，
解得a=$\sqrt{13}$，
则$\frac{a}{sinA}=2R$，即$\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2R，即有$R=\frac{{\sqrt{39}}}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标运算，考查三角函数的化简以及正弦函数的周期及单调区间，考查正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，属于中档题．