Question

13．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，（x≥0）}\\{{x}^{2}+mx-1，（x＜0）}\end{array}\right.$是偶函数．
（1）求实数m的值；
（2）作出函数y=f（x）的图象，并写出其单调区间；
（3）若函数y=f（x）-k有4个零点，试求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数的奇偶性可得f（-1）=f（1），由此求得m的值．
（2）作出函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x-1，x＜0}\end{array}\right.$ 的图象，数形结合可得函数的单调区间．
（3）由题意可得函数f（x）的图象和直线y=k有4个交点，结合f（x）的图象，求得k的范围．

解答 解：（1）根据 函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，（x≥0）}\\{{x}^{2}+mx-1，（x＜0）}\end{array}\right.$是偶函数，
可得f（-1）=f（1），1-m-1=1-2-1，求得m=2．
（2）作出函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x-1，x＜0}\end{array}\right.$ 的图象，如图所示：
数形结合可得函数的增区间为[-1，0）、[1，+∞）；
减区间为（-∞，-1）、[0，1）．
（3）若函数y=f（x）-k有4个零点，则函数f（x）的图象和直线y=k有4个交点，
故-2＜k＜-1．

点评 本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性和单调性，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．