Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；

（3）若过点可作函数图像的三条不同切线，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 单调递增区间为，单调递减区间为和；(2)；(3)

【解析】

试题解析：（1）当a=3时，，得

因为，

所以当1<x<2时，，函数单调递增；

当x<1或x>2时，，函数单调递减．

所以函数的单调递增区间为（1,2），单调递减区间为（-∞,1）和（2,+∞）．

（2）由，得，

因为对于任意都有成立，

即对于任意都有成立，

即对于任意都有成立，

令，

要使对任意都有成立，

必须满足△<0或

即或

所以实数的取值范围为（-1,8）

（3）设点P是函数图象上的切点

则过P的切线的斜率为，

切线方程为：

∵在切线上

∴

∵若过点可作函数图象的三条不同切线

∴有三个不等的实根，

令，解得

∵

∴

∴实数的取值范围