题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ，直线ρcosθ=1与曲线C相交于M，N两点，直线l过定点P（2，0）且倾斜角为α，l交曲线C于A，B两点．
（1）把曲线C化成直角坐标方程，并求|MN|的值；
（2）若|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，求直线l的倾斜角α．
【答案】（1）y2=4x,4（2）α=
或α=
【解析】
（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|；
（2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得．
解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，
∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．
由ρcosθ=1得x=1，
由
的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．
（2）直线l的参数方程为：
(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x，
得t2sin2α-4tcosα-8=0，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
则t1+t2=
，t1t2=-
，
因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，
∴|PA||PB|=|MN|2=16，
∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，
∴=16，∴sin2α=
，
∵0≤α＜π，
∴sinα=
，
∴α=或α=．
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