题目内容
【题目】已知正项数列的前n项和为
,数列
满足
.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足
,它的前n项和为
,若存在正整数n,使不等式
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
或
【解析】
(1)由题意可得当时,
,从而推出
,则
,从而可求出
;
(2)易知,利用错位相减法求得
,从而有不等式
成立,对
分奇偶数讨论,令
,利用换元法化为二次函数,从而可求出答案.
解:(1),
当时,
,
或
(舍去)
当时,由
,得
,
两式相减得:,
,
即,∴
.
又∵数列为正项数列,故
,也即
,
∴数列为以1为首项1为公差的等差数列,
∴,
;
(2)易知,则
①,
②,
①②可得:
,
故,所以不等式
成立,
若n为偶数,则,所以
,
设,则
在
单调递减,
故当时,
,所以
;
若n为奇数,则,所以
设,则
在
单调递增,
故当时,
,所以
,
综上所述,的取值范围
或
.
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