题目内容

2.已知f(x)=(x2+x+1)n(n∈N*),g(x)是关于x的2n次多项式;
(1)若f(x2)g(x)=g(x3)恒成立,求g(1)和g(-1)的值;并写出一个满足条件的g(x)的表达式,无需证明.
(2)求证:对于任意给定的正整数n,都存在与x无关的常数a0,a1,a2,…,an,使得f(x)=a0(1+x2n)+a1(x+x2n-1)+a2(x2+x2n-2)+…+an-1(xn-1+xn+1)+anxn

分析 (1)利用赋值法,求g(1)和g(-1)的值;并写出一个满足条件的g(x)的表达式;
(2)利用数学归纳法证明即可.

解答 解:(1)令x=1,则f(1)g(1)=g(1),即g(1)•[f(1)-1]=0,
因为f(1)-1=3n-1≠0,所以g(1)=0.
令x=-1,则f[(-1)2]g(-1)=g[(-1)3],即f(1)g(-1)=g(-1),
因为g(-1)•[f(1)-1]=0,因为f(1)-1=3n-1≠0,所以g(-1)=0,
例如g(x)=($\sqrt{{x}^{2}-1}$)2n(n∈N*).     
(2)当n=1时,f(x)=x2+x+1=(x2+1)+x,故存在常数a0=1,a1=1,使得f(x)=a0(1+x2)+a1x.
假设当n=k(k∈N*)时,都存在与x无关的常数a0,a1,a2,…,ak
使得f(x)=a0(1+x2k)+a1(x+x2k-1)+a2(x2+x2k-2)+…+ak-1(xk-1+xk+1)+akxk
即(x2+x+1)k=a0(1+x2k)+a1(x+x2k-1)+a2(x2+x2k-2)+…+ak-1(xk-1+xk+1)+akxk
则当n=k+1时,f(x)=(x2+x+1)k+1=(x2+x+1)•(x2+x+1)k=(x2+x+1)•[a0(1+x2k)+a1(x+x2k-1)+…+ak-1(xk-1+xk+1)+akxk]
=(a0+a1x+…+ak-1xk-1+akxk+ak-1xk+1+…+a1x2k-1+a0x2k)+(a0x+a1x2+…+ak-1xk+akxk+1+ak-1xk+2+…+a1x2k+a0x2k+1
+(a0x2+a1x3+…+ak-1xk+1+akxk+2+ak-1xk+3+…+a1x2k+1+a0x2k+2
=a0+(a1+a0)x+(a2+a1+a0)x2+(a3+a2+a1)x3+…+(ak-1+ak-2+ak-3)xk-1++(ak+ak-1+ak-2)xk+(2ak-1+ak)xk+1
+(ak+ak-1+ak-2)xk+2+…++(a3+a2+a1)x2k-1+(a2+a1+a0)x2k+(a1+a0)x2k+1+a0x2k+2
=a0(x+x2k+2)+(a1+a0)(x+x2k+1)+(a2+a1+a0)(x2+x2k)+…+(ak+ak-1+ak-2)(xk+xk+2)+(2ak-1+ak)xk+1
令a0'=a0,a1'=a0+a1,am'=am-2+am-1+am(2≤m≤k),ak+1'=2ak-1+ak
故存在与x无关的常数a0',a1',a2',…,ak',ak+1';使得f(x)=a0'(1+x2k+2)+a1'(x+x2k+1)+a2'(x2+x2k)+…+ak'(xk+xk+2)+ak+1'xk+1
综上所述,对于任意给定的正整数n,都存在与x无关的常数a0,a1,a2,…,an
使得f(x)=a0(1+x2n)+a1(x+x2n-1)+a2(x2+x2n-2)+…+an-1(xn-1+xn+1)+anxn.…(10分)

点评 本题考查数学归纳法,考查赋值法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网