题目内容

14．各项均为正奇数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4-a1=100，则q的值为$\frac{11}{7}$．

分析 先设数列的前三项，再由a4-a1=100得到第四项，利用后三项依次成公比为q的等比数列建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此可求得q的值．

解答 解：设正奇数的数列前四项依次为a1，a1+d，a1+2d，a1+100，其中a1为正奇数，d为正偶数，则
∵后三项依次成公比为q的等比数列，
∴$（{a}_{1}+2d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+100）$，
整理得${a}_{1}=\frac{4d（25-d）}{3d-100}$＞0，
∴（d-25）（3d-100）＜0，即25＜d＜$\frac{100}{3}$，
则d可能为26，28，30，32，
当d=26时，a1=$\frac{52}{11}$（舍）；
当d=28时，a1=21，q=$\frac{11}{7}$；
当d=30时，a1=60（舍）；
当d=32时，a1=224（舍）．
∴q的值为$\frac{11}{7}$．
故答案为：$\frac{11}{7}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查学生分析解决问题的能力，正确设出数列是关建，是中档题．

练习册系列答案
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