Question

17．定义在R上的函数y=f（x），满足f（2-x）=f（x），（x-1）f′（x）＜0，若f（3a+1）＜f（3），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{2}{3}$）
• B． （$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． （-$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）
• D． （-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 根据导数和单调性之间的关系，判断函数的单调性，利用单调性和对称性之间的关系进行求解即可．

解答 解：当x＞1时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＜1时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
∵f（2-x）=f（x），
∴函数关于x=1对称，
若f（3a+1）＜f（3），
则满足①$\left\{\begin{array}{l}{3a+1≥1}\\{3a+1＞3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{2}{3}$，
②$\left\{\begin{array}{l}{3a+1≤1}\\{3a+1＜-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a＜-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，解得a＜-$\frac{2}{3}$，
综上实数a的取值范围（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞），
故选：D

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．