题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求平面与平面
所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析: 由直角及边长关系得
,又因为平面
平面
,运用性质定理证得
平面
,由判定定理证得
平面
建立空间直角坐标系,求法向量,计算可得。
解析:(Ⅰ)在底面中,
,
,
所以,
,所以
,
所以,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
,
又平面
,所以
,
又即
,
又,
所以平面
.
(Ⅱ)分别延长和
相交于一点
,连结
,则直线
即为所求直线
,
在平面内过
作
(如图),
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
,又
,
所以两两互相垂直.以
为原点,向量
的方向分别为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系
(如图),另设
,
则,
,
,
,
所以,
,
设是平面
的法向量,
则即
令,得
.
显然是平面
的一个法向量.
设二面角的大小为
(
为锐角).
所以,
所以二面角的的余弦值为
。
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