题目内容
【题目】已知函数,曲线
在原点处的切线斜率为-2.
(Ⅰ)求实数,
的值;
(Ⅱ)若,求证:当
时,
.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)详见解析
【解析】
解法一:(1)计算导数,结合原点坐标,建立方程,即可。(2)构造函数,针对a取不同范围,进行讨论,判定
与0的关系,即可。解法二:(1)解法一相同(2)构造函数
,结合该函数导数,判断
单调性,计算范围,即可。
解法一:
(Ⅰ)依题意得,
又的图象在原点处的切线斜率为-2,
∴,
,
即,
.
(Ⅱ)当时,设
,
且.
①当时,
,
,
∴在定义域上单调递减,
∴当时,
,
∴恒成立,即
.
②当,
时,
,
∵,
∴.
又∵,
∴恒成立,即
.
∴,
时,
.
综上所述,若,当
时,
.
解法二:(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)令
当时,
.
∴.
∴.
令,
,
∴在
单调递减.
.
得,
∴当时,
.
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