Question

16．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{a}$+bx的回归系数$\widehat{a}$，$\widehat{b}$；
（2）判断回归模型拟合效果的好坏．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值．
（2）求出回归模型的相关系数，可判断回归模型拟合效果的好坏．

解答 解：（1）由题意知$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+3+4+5+6）=4，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）=5，
$\hat{b}$=$\frac{2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.23，
$\hat{a}$=5-4×1.23=0.08
（2）根据已知中的数据可得：
R²=1-$\frac{（2.2-2.54）^{2}+（3.8-3.77）^{2}+（5.5-5）^{2}+（6.5-6.23）^{2}+（7.0-7.46）^{2}}{（2.2-5）^{2}+（3.8-5）^{2}+（5.5-5）^{2}+（6.5-5）^{2}+（7.0-5）^{2}}$=1-$\frac{0.4930}{14.78}$=0.9666，
由于0.9666非常接近1，
故这个回归模型拟合效果比较好．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法，考查预报值的求法，是一个新课标中出现的新知识点，已经在广东的高考卷中出现过类似的题目．