题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，
分别为
的左顶点和上顶点，若
的中点的纵坐标为
.
分别为的左、右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与交于
两点，
，
的重心分别为
.若原点
在以
为直径的圆内，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）根据离心率、中点坐标和椭圆
关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；
（2）将
方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；根据重心的坐标表示和点与圆的位置关系可得到
，代入韦达定理的结论可构造不等式求得
的范围，验证后确定满足
即可.
（1）设椭圆的半焦距为
，由题意有
，
，
，且
，结合
，解得：
，
，
∴椭圆
的方程为.
（2）设
，
，
联立方程
消去
得：
，
由可得：
，解得：
，
则
，
，
由题意得：
，
的重心
，
，
∵原点
在以
为直径的圆内，∴，即
.
∵
，
，
变形为
，解得：
，满足，
，
即实数的取值范围为.
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年 份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝
，
＝
－
．
