题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值;
(2)若有两个零点,求实数
的范围;
(3)已知函数与函数
的图象关于原点对称,如果
,且
,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析: 求导即可求函数
的单调区间和极值
,求导后分类讨论当
时、当
时、当
时、当
时的情况,给出结果
令
,求导证明
可得
,得证
解析:(1)根据,
令,解得
,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
递减 | 递增 |
∴函数的增区间为
,减区间为
;函数
在
处取的极小值
,无极大值.
(2)由,则
,
当时,
,易知函数
只有一个零点,不符合题意,
当时,在
上
,
单调递减;在
上
,
单调递增,又
,
,当
时,
,所以函数
有两个零点,
当时,在
和
上
,
单调递增,在
上
,
单调递减.又
,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
当时,在
和
上
,
单调递增,在
上
,
单调递减.
又,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
当时,
,函数在
上单调递增,所以函数
至多一个零点,不符合题意,
综上,实数的取值范围是
.
(3)由,
,令
,解得
,当
变化时,
,
的变化情况如下表:
递增 | 递减 |
由,不妨设
,根据
结合图象可知
,
,
令,
,则
,∵
,
,∴
,则
,∴
在
单调递增,又∵
,∴
时,
,即当
时,
,则
,
又,∴
,因
,∴
,∴
,∵
在
上是增函数,∴
,∴
得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】根据国家环保部最新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别 | PM2.5平均浓度 | 频数 | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(II)求样本平均数,并根据样本估计总计的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?并说明理由.