题目内容

【题目】中,,以的中线为折痕,将沿折起,如图所示,构成二面角,在面内作,且

(1)求证:平面

(2)如果二面角的大小为,求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】

(1)根据计算得为等腰直角三角形,所以从而根据线面平行判定定理得结论,(2)根据二面角定义得面,再根据面面垂直性质定理得中点为,根据计算可得,即得为二面角的平面角,最后根据解三角形得结果.

(1)由,所以为等腰直角三角形,由的中点得,以的中线为折痕翻折后仍有

因为,所以

平面平面,所以平面

(2)因为二面角的大小为,所以面

又面,,所以

因此,又所以,从而

由题意,所以中,.设中点为,因为所以,且,设中点为,则,由,所以为二面角的平面角,

连结,在中,因为,所以

于是在中,

中,

所以在中,

因此二面角的余弦值为

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