题目内容

【题目】如图,AB是圆O的直径,C为圆周上一点,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E.

(1)求证:ABDE=BCCE;
(2)若AB=8,BC=4,求线段AE的长.

【答案】
(1)证明:连接BE,OC,AC,OC∩BE=F,则

∵CD是圆O的切线,

∴OC⊥l,

∵AD⊥l,∴AD∥OC,

∵AB是圆O的直径,∴AD⊥BE,

∵AD⊥l,∴l∥BE,

∴∠DCE=∠CBE=∠CAB,

∵∠EDC=∠BCA=90°,

∴△EDC∽△BCA,

=

∴ABDE=BCCE


(2)解:由(1)可知四边形EFCD是矩形,

∴DE=CF,

∵圆O的直径AB=8,BC=4,

∴∠ABC=60°

∴△OBC是等边三角形,

∴∠EBA=30°,AE=4


【解析】(1)连接BE,OC,OC∩BE=F,证明△EDC∽△BCA,即可证明ABDE=BCCE;(2)证明四边形EFCD是矩形,△OBC是等边三角形,即可得出结论.

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