Question

【题目】已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2 ， 且a3+2是a2 ， a4的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an+log2 ，Sn=b1+b2+…bn ， 求使 Sn﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，

依题意，∵2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项

∴

由 ①得 q2﹣3q+2=0，解得q=1或q=2．

当q=1时，不合题意舍；

当q=2时，代入（2）得a1=2，所以an=2n．

（2）解： =2n﹣n

所以Sn=b1+b2+…bn=（2+22++2n）﹣（1+2+…+n）=2n+1﹣2﹣ ﹣ n2

因为 ，所以2n+1﹣2﹣ ﹣ n2﹣2n+1+47＜0，

即n2+n﹣90＞0，解得n＞9或n＜﹣10．

故使 成立的正整数n的最小值为10

【解析】（1）设等比数列{an}的首项为a1 ， 公比为q，根据2a1+a3=3a2 ， 且a3+2是a2 ， a4的等差中项，建立方程组，从而可求数列{an}的通项公式；（2） =2n﹣n，求出Sn=b1+b2+…bn ， 再利用 ，建立不等式，即可求得使 成立的正整数n的最小值．
【考点精析】掌握等比数列的通项公式（及其变式）是解答本题的根本，需要知道通项公式：．