题目内容
16.已知函数f(x)=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ax,g(x)=(m-2)x2+(m-1)x+1.(其中e=2.718…)(1)若f(x)在x=ln2处导数为0,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a=e时,存在x0∈(-1,0)使得f(x0)=g(x0),求m的取值范围.
分析 (1)求得函数的导数,由导数为0,求得a,进而得到切线的斜率和切点,即可得到切线的方程;
(2)运用零点存在定理,解不等式即可得到m的范围.
解答 解:(1)函数f(x)=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ax的导数为f′(x)=-e-x+a,
则f′(ln2)=-e-ln2+a=0,
解得a=$\frac{1}{2}$,
即有f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$,
切点为(0,1),
即有f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-$\frac{1}{2}$x+1;
(2)当a=e时,存在x0∈(-1,0)使得f(x0)=g(x0),
即有h(x)=f(x)-g(x)=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ex-(m-2)x2+(m-1)x+1在(-1,0)有解,
由零点存在定理,可得,h(-1)h(0)<0,
即为2(4-2m)<0,
解得m>2.
则m的取值范围是(2,+∞).
点评 本题考查导数的运用:求切线的方程,考查函数零点存在定理的运用,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | 1 | B. | $\frac{\sqrt{7}}{4}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{\sqrt{5}}{4}$ |