Question

6．已知f（x）=（e^x_-a）²+（e^-x-a）²（a≥0）．
（1）将f（x）表示成u=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$的函数；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）的解析式，由u的解析式，整理变形即可得到f（x）为u的函数式；
（2）运用基本不等式求得u的范围，再将f（x）配方，讨论对称轴和区间的关系，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）f（x）=（e^x_-a）²+（e^-x-a）²（a≥0）
=e^2x-2ae^x+a²+e^-2x-2ae^-x+a²
又u²=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}+2}{4}$，
即有f（x）=4u²-2-4au+2a²；
（2）f（x）=4u²-2-4au+2a²
=4（u-$\frac{a}{2}$）²+a²-2，
由u≥$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=1，
当$\frac{1}{2}$a≥1时，u=$\frac{1}{2}$a，f（x）的最小值为a²-2；
当$\frac{1}{2}$a＜1时，[1，+∞）我增区间，
f（x）的最小值为f（1）=2a²-4a+2．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法，转化为二次函数的最值求法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．