题目内容

【题目】已知函数f(x)=loga(x+1),函数g(x)=loga(4﹣2x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数y=f(x)﹣g(x)的定义域;
(2)求使函数y=f(x)﹣g(x)的值为正数的x的取值范围.

【答案】
(1)解:由题意可知,函数f(x)=loga(x+1),函数g(x)=loga(4﹣2x)(a>0,且a≠1).

那么:函数y=f(x)﹣g(x)=loga(x+1)﹣loga(4﹣2x)

定义域满足:

解得:﹣1<x<2.

∴函数y=f(x)﹣g(x)的定义域是(﹣1,2)


(2)解:函数y=f(x)﹣g(x)的值为正数,即f(x)>g(x)

可得:loga(x+1)>loga(4﹣2x)

当a>1时,可得:x+1>4﹣2x,

解得:x>1.

又∵定义域:﹣1<x<2.

∴解集为(1,2)

当0<a<1时,可得:x+1<4﹣2x,

解得:x<1.

又∵定义域:﹣1<x<2.

∴解集为(﹣1,1)

综上所述:当a>1时,x的取值范围是(1,2);

当0<a<1时,x的取值范围是(﹣1,1)


【解析】(1)根据对数的真数要大于0,写出满足函数有意义的不等式组求解即可.(2)将等式转化为不等式问题求解.
【考点精析】通过灵活运用函数的定义域及其求法和函数的值域,掌握求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零;求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的即可以解答此题.

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