题目内容

(、(本题16分)
如图,有一块抛物线形状的钢板,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,使得都落在抛物线上,点关于抛物线的轴对称,且,抛物线的顶点到底边的距离是,记,梯形面积为
(1)以抛物线的顶点为坐标原点,其对称轴为轴建立坐标系,使抛物线开口向下,求出该抛物线的方程;
(2)求面积关于的函数解析式,并写出其定义域;
(3)求面积的最大值.
解(1)以抛物线的顶点为坐标原点,其对称轴为轴建立坐标系,
设抛物线方程为:
由图得抛物线过点,代入求得
所以外轮廓线所在抛物线的方程:        ………………………5分
(2)设,代入抛物线方程得,故梯形的高为 =     …………………9分
又由解得
其定义域为                               ………………………10分
(3)
,解得                                  -------------------12分
函数在该区间递增,
函数在该区间递减,          ………………………14分
所以当时函数取得最大值,         ………………………16分
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