Question

【题目】在数列{an}中，已知，且2an+1=an+1（n∈N*）．

（1）求证：数列{an-1}是等比数列；

（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

【答案】（1）见解析;(2) 2-

【解析】

（1）由已知可得，2（an+1-1）=an-1，从而可证明数列{an-1}是等比数列；

（2）由（1）可求an，进而可求bn，然后利用分组求和，结合等差数列的求和公式及错位相减求和方法即可求解．

解：（1）∵2an+1=an+1（n∈N*）．

∴2（an+1-1）=an-1，

∵，

∴a1-1=且an-1≠0，

∴=，

∴数列{an-1}是以为首项，为公比的等比数列

（2）由（1）可得：an-1=，

∴an=

∴bn=nan=n，

∴Tn=（）+（1+2+…+n），

令An=，

∴=…+（n-1）+n，

两式相减可得，=，

==1-

∴An=2-2×-n=2-

∴Tn=2-