Question

【题目】已知函数，其中．是自然对数的底数．

（1）若曲线在处的切线方程为．求实数的值；

（2）① 若时，函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围；

② 若，．若对一切正实数恒成立，求实数的最大值（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）.（2）①②

【解析】

试题（1）由导数几何意义得，又过过点(1,0)，因此可列方程组，解得（2）①由题意得，导函数有两个不同的零点，即有两个不同的解，研究目标函数 得在区间上为减函数，在区间上为增函数，因此②先化简不等式：，再分别求证，（当且仅当都在处取到等号），最后利用不等式性质得

试题解析： (1) 由题意知曲线过点(1,0)，且；又因为，则有解得.

(2)①当时，函数的导函数，若时，得，设 . 由 ，得，. 当时，，函数在区间上为减函数，；当时，，函数在区间上为增函数，；所以，当且仅当时，有两个不同的解，设为， .

此时，函数既有极大值，又有极小值.

②由题意对一切正实数恒成立，取得.下证对一切正实数恒成立.首先，证明. 设函数，则，当时，；当时，；得，即，当且仅当都在处取到等号. 再证. 设，则，当时，；当时，；得，即，当且仅当都在处取到等号. 由上可得，所以，即实数的最大值为.