题目内容
【题目】已知过原点的动直线与圆
相交于不同的两点
,
.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点
的轨迹
的方程;
(3)是否存在实数,使得直线
与曲线
只有一个交点?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】试题分析:(1)通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论;(2)设当直线
的方程为y=kx,通过联立直线
与圆
的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;(3)通过联立直线
与圆
的方程,利用根的判别式△=0及轨迹
的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论
试题解析:(1)由得
,
∴ 圆的圆心坐标为
;
(2)设,则
∵ 点为弦
中点即
,
∴即
,
∴ 线段的中点
的轨迹的方程为
;
(3)由(2)知点的轨迹是以
为圆心
为半径的部分圆弧
(如下图所示,不包括两端点),且
,
,又直线
:
过定点
,
当直线与圆
相切时,由
得
,又
,结合上图可知当
时,直线
:
与曲线
只有一个交点.
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