题目内容
【题目】已知椭圆
的焦点为
和
，过
的直线交于
，
两点，过作与
轴垂直的直线交直线
于点
．设
，已知当
时，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：无论
如何变化，直线
过定点．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
（Ⅰ）根据椭圆定义和线段长度关系可知
在
轴上，由此求得
，代入椭圆方程即可求得
，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）将直线
：
代入椭圆方程可得韦达定理的形式，从而得到
，从而化简得到直线
的斜率，得到方程为
，从而得到定点.
（Ⅰ）设椭圆方程为
，其中
，
时，不妨设
，则
，
，
，由椭圆定义得：
，
，
故此时点在轴上，不妨设
，则，
代入椭圆方程，解得：
，
，
故所求椭圆方程为．
（Ⅱ）直线过定点
，证明如下：
设直线方程为：，
代入椭圆
中得：
，即
，
设
，
，
则
，
，
，
由题设知：
，直线斜率：
，
直线方程为
，化简得：，故直线恒过．
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