Question

9．已知函数f（x）=x²-（b+2）x+c存在b∈R，使得任意x∈[0，c]时，2-2x≤f（x）≤6-2x恒成立，求c的最大值．

Answer 1

分析 令g（x）=x²-bx+c，即有原不等式即为当x∈[0，c]时，2≤g（x）≤6恒成立．根据不等式恒成立，转化为求相应的最值，注意对b讨论，①若b≤0，则$\frac{b}{2}$≤1，②若0＜$\frac{b}{2}$＜$\frac{c}{2}$，即0＜b＜c，③若0＜$\frac{b}{2}$=$\frac{c}{2}$，即0＜b=c，④若0＜$\frac{c}{2}$＜$\frac{b}{2}$＜c，即0＜c＜b＜2c，⑤若$\frac{b}{2}$≥c，即b≥2c．运用单调性即可求得最值．

解答 解：∵函数f（x）=x²-（b+2）x+c，
当x∈[0，c]时，2-2x≤f（x）≤6-2x恒成立，
即为2≤x²-bx+c≤6恒成立，
∴c＞0，
令g（x）=x²-bx+c，即有当x∈[0，c]时，2≤g（x）≤6恒成立．
①若b≤0，则$\frac{b}{2}$≤0，此时g（x）在[0，c]上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（0）≥2}\\{g（x）_{max}=g（c）≤6}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{c≥2}\\{{c}^{2}-bc+c≤6}\end{array}\right.$，
由c²-bc+c≤6得b≥c-$\frac{6}{c}$+1≥2-$\frac{6}{2}$+1=0，
∴b=0，此时$\left\{\begin{array}{l}{c≥2}\\{{c}^{2}+c≤6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=2}\end{array}\right.$．
②若0＜$\frac{b}{2}$＜$\frac{c}{2}$，即0＜b＜c，此时$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（\frac{b}{2}）≥2}\\{g（x）_{max}=g（c）≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{c-\frac{{b}^{2}}{4}≥2}\\{{c}^{2}-bc+c≤6}\\{0＜b＜c}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{{b}^{2}}{4}+2}\\{b≥c-\frac{6}{c}+1}\\{0＜b＜c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c≥2}\\{c-\frac{6}{c}+1＜c}\end{array}\right.$，
∴2＜c＜6，
又c-$\frac{{b}^{2}}{4}$≥2，则b≤2$\sqrt{c-2}$，
∴c-$\frac{6}{c}$+1≤2$\sqrt{c-2}$，
令h（x）=x-$\frac{6}{x}$+1，r（x）=2$\sqrt{x-2}$，
∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，
且h（x）与r（x）均在（2，6）上单调递增，
当2＜x＜3时，h（x）的图象在r（x）图象的下方，即此时h（x）＜r（x），
∴不等式c-$\frac{6}{c}$+1≤2$\sqrt{c-2}$的解为2＜c≤3，
当c=3时，$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{{b}^{2}}{4}≥2}\\{{3}^{2}-3b+3≤6}\\{0＜b＜3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≤2}\\{b≥2}\\{0＜b＜3}\end{array}\right.$，解得b=2．
③若0＜$\frac{b}{2}$=$\frac{c}{2}$，即0＜b=c，此时$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（\frac{b}{2}）≥2}\\{g（x）_{max}=g（0）≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{c-\frac{{b}^{2}}{4}≥2}\\{c≤6}\\{0＜b＜3}\end{array}\right.$，此时不等式无解．
④若0＜$\frac{c}{2}$＜$\frac{b}{2}$＜c，即0＜c＜b＜2c，此时$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（\frac{b}{2}）≥2}\\{g（x）_{max}=g（0）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c-\frac{{b}^{2}}{4}≥2}\\{c≤6}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{{b}^{2}}{4}+2}\\{c≤6}\\{c＜b}\end{array}\right.$，∴$\frac{{b}^{2}}{4}$+2＜b，b²-4b+8＜0此时不等式无解．
⑤若$\frac{b}{2}$≥c，即b≥2c，此时f（x）在[0，c]上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（x）_{min}=g（c）≥2}\\{g（x）_{max}=g（0）≤6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}-bc+c≥2}\\{c≤6}\\{b≥2c}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b≤c-\frac{2}{c}+1}\\{c≤6}\\{b≥2c}\end{array}\right.$，
∴2c≤c-$\frac{2}{c}$+1，
即c+$\frac{2}{c}$≤1，而当c＞0时，c+$\frac{2}{c}$≥2$\sqrt{2}$＞1，∴此时不等式无解．
综上c的取值范围是[2，3]，c的最大值是3，此时b=2．

点评 本题主要考查二次函数的图象和性质，综合性较强，运算量较大，难度不小．