Question

4．求证：对任意的正整数n，不等式（2n+1）ⁿ≥（2n）ⁿ+（2n-1）ⁿ成立．

Answer 1

分析 利用（2n+1）ⁿ-（2n-1）ⁿ≥2n（2n+1）^n-1-2n（2n-1）^n-1=2n[（2n+1）^n-1-（2n-1）^n-1]，即可证明结论．

解答 证明：原不等式等价于（2n+1）ⁿ-（2n-1）ⁿ≥（2n）ⁿ，
因为（2n+1）ⁿ-（2n-1）ⁿ≥2n（2n+1）^n-1-2n（2n-1）^n-1=2n[（2n+1）^n-1-（2n-1）^n-1]，
所以，同理即可得到（2n+1）ⁿ-（2n-1）ⁿ≥（2n）ⁿ，
所以对任意的正整数n，不等式（2n+1）ⁿ≥（2n）ⁿ+（2n-1）ⁿ成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．