Question

1．若双曲线C与$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦点，与双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1有相同渐近线．
（1）求双曲线C的方程；
（2）如果过点A（3，0）的直线l与双曲线C只有一个交点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=λ，即$\frac{{x}^{2}}{-6λ}-\frac{{y}^{2}}{-2λ}=1$，利用双曲线C与$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦点，建立方程求出λ，即可求双曲线C的方程；
（2）分类讨论，利用直线l与双曲线C只有一个交点，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=λ，即$\frac{{x}^{2}}{-6λ}-\frac{{y}^{2}}{-2λ}=1$，
∵双曲线C与$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦点，
∴-6λ-2λ=16-4，
∴$λ=-\frac{3}{2}$，
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）斜率不存在时，直线x=3满足题意；
斜率存在时，设方程为y=k（x-3），代入双曲线方程，整理可得
（1-3k²）x²+18k²x-27k²-9=0，
1-3k²=0时，k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3），满足题意；
1-3k²≠0时，△=（18k²）²-4（1-3k²）（-27k²-9）=36＞0，
∴直线l的方程为x=3或y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）．

点评 本题考查双曲线方程，考查椭圆、双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，正确运算是关键．