题目内容
17．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosωx，cosωx），$\overrightarrow{n}$=（sinωx，-cosωx）（ω＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最小正周期为$\frac{π}{2}$．（1）化简f（x）；
（2）求ω的值；
（3）当m为何值时，直线y=m与函数y=f（x），x∈[0，$\frac{π}{4}$]的图象只有一个交点．
分析 （1）进行数量积的运算，然后根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式即可得出f（x）=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
（2）根据f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$便有，$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，从而可求得ω=4；
（3）根据题意便知，方程m+$\frac{1}{2}$=$sin（4x-\frac{π}{6}）$只有一个解，可换元，令4x-$\frac{π}{6}$=t，从而得出直线y=m+$\frac{1}{2}$和y=sint，在t$∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$上只有一个交点，这样根据正弦函数在$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$上的图象即可得出m的取值．
解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}sinωxcosωx-co{s}^{2}ωx$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1+cos2ωx}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
（2）∵f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$；
∴$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$；
∴ω=2；
（3）$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$；
根据题意，方程$m=sin（4x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$只有一个解；
即方程$m+\frac{1}{2}=sin（4x-\frac{π}{6}）$只有一个解，令4x-$\frac{π}{6}$=t，$t∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$；
∴直线y=$m+\frac{1}{2}$和y=sint在t$∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$只有一个交点，如图所示：
根据图象看出y=1和y=-$\frac{1}{2}$都和y=sint在[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]上只有一个交点；
即$m=\frac{1}{2}$，或m=-1时，直线y=m和函数y=f（x），x$∈[0，\frac{π}{4}]$的图象只有一个交点．
点评 考查数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，以及三角函数周期的概念及其求法，直线和曲线交点和对应的直线方程和曲线方程形成方程组解的关系，数形结合解题的方法，熟悉正弦函数图象．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案| A． | a＜0 | B． | a＞0 | C． | a≤0 | D． | a为任意实数 |
| A． | 向右平移$\frac{π}{3}$个单位 | B． | 向右平移$\frac{π}{6}$个单位 | ||
| C． | 向左平移$\frac{π}{3}$个单位 | D． | 向左平移$\frac{π}{6}$个单位 |